Últimamente he pasado ocupado y no he tenido mucho tiempo para pensar en un tema para escribir en el blog. Es obvio que me gustaría desarrollar algo, pero mis estudios y mi trabajo de investigación son mi prioridad por el momento. Más adelante les llegaré con algo más entretenido.
Aún así, este domingo he sacado el rato para ponerme a hablar de algo que siempre me ha parecido interesante: las demostraciones matemáticas, pues cada vez que veo una demostración, me pongo a pensar en todo el proceso de razonamiento por el que tuvo que pasar el autor para llegar a tales conclusiones.
Las matemáticas son bastante “limpias” con respecto a otras ciencias – todo el conocimiento previo es bastante claro, está todo formalizado y los procesos de demostración están correctamente definidos, esto con el objetivo de evitar que alguien llegue a conclusiones disparatadas por meras interpretaciones o simples “batazos” de lógica. Aún así, expandir el conocimiento teórico no es un proceso mecánico. Alguien que desee argumentar algo en matemáticas requiere, desde mi punto de vista, dos cosas: 1. un conocimiento y entendimiento correcto de todo lo que se sabe hasta hoy en el campo, desde lo más fundamental (lógica proposicional, teoría de conjuntos, funciones) hasta lo último sobre lo que se quiera trabajar y 2. una intuición sumamente avanzada, muy por encima de la media.
Y no es fácil encontrar a una persona con ese perfil, dado que estas características rara vez van de la mano y muchas veces hasta son incompatibles. Las carreras profesionales típicas muchas veces son más inclinadas al conocimiento que a la intuición, como el Derecho y las Ciencias Sociales; o al revés, como la Ingeniería o las Ciencias Económicas. Encontrar gente que logre equilibrar estas facetas se puede tornar incluso difícil.
Para ver algún caso voy a poner dos ejemplos básicos de demostraciones. Dos de las más populares y favoritas entre los amantes de la Reina de las Ciencias. Trataré de poner todo de modo organizado para que se pueda ver con claridad de donde partieron y como llegaron los autores a sus conclusiones.
Los números primos son infinitos.
Esta demostración se le debe al viejo Euclides (300 A.C.). Como todos sabemos, un número primo es aquel número entero que no puede ser dividido por otro salvo él mismo y la unidad (1). Por ejemplo, no hay número que pueda dividir el once salvo el once y el uno. Si pensamos en una secuencia de números enteros, nos daremos cuenta que eventualmente seguiremos encontrando primos y nunca pararemos, por lo cual “suena” pensar que son infinitos. Ahora bien, ¿cómo demostramos que es cierto? Ahí es donde está la intuición.Como todos sabemos, si uno multiplica un conjunto números primos obtendrá otro número que es divisible por ellos. Por ejemplo 2*3*5 = 30, siendo 30 divisible entre 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Perfecto, pero ¿qué pasa si a ese producto le agregamos la unidad? ¡Obtendremos otro número que no puede ser dividido por ninguno de esa secuencia! En tal caso, el 31 no puede ser dividido por 2, ni 3, ni 5. Tampoco el 211 (producto de 2*3*5*7 + 1) y así sucesivamente.
Hay que tener cuidado. Es erróneo pensar que este juego va a producir siempre un primo (como el 31, el 211 o el 2311). De hecho, el número 30031 (producto de 2*3*5*7*11*13 + 1) es divisible entre 59 y 509 (ambos primos), más no entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Y ahí es donde está la clave.
Euclides partió de estas observaciones para demostrar que de hecho los primos son infinitos. Primero, supuso que más bien son finitos y que podía producir una secuencia p1, p2,…, pn que contuviera a todos los números primos. Tendríamos, entonces, un número llamado X = (p1*p2*…*pn) + 1. Dado que X no es divisible por ninguno de los elementos de la secuencia antes mencionada, su divisor debe encontrarse “más allá” de esa secuencia. Por ende, los primos no pueden ser finitos. QED.
En un triángulo recto, la suma del cuadrado de los dos catetos es igual a la suma de la hipotenusa.
Este es uno de los teoremas más famosos ya que cualquier persona que haya pasado por la secundaria lo conoce. Se le debe al viejo Pitágoras (580 A.C.).Para refrescar, tengamos el siguiente triángulo recto:
El teorema dice que, en términos de longitud, h2 = a2 + b2. Es decir, si a mide 5 y b 10, entonces h mide 11.18. Esto no “suena” tan intuitivo y de hecho hay muchas maneras de demostrarlo. Vamos a proceder con una de las más simples. Para proceder a ello, tomemos como base dos premisas:
1. El área de un cuadrado de lado s es igual a s2.
2. El área de un triángulo de base b y altura a es igual (b*a)/2.
La idea de la demostración es bastante gráfica. Lo que se busca es juntar cuatro triángulos rectos de igual base y altura de modo que sus catetos juntos formen un cuadrado (lo llamaremos cuadrado exterior) y sus hipotenusas juntas formen otro (lo llamaremos cuadrado interior). Así:
Como podemos observar, el área del cuadrado interno, que denotaremos ai es igual a h2. El cuadrado externo, que denotaremos ae sería, entonces, igual a (a+b)2. La clave aquí es ver que el área del cuadrado externo también se puede formular en términos del área del cuadrado interno y de los cuatro triángulos. Sería equivalente a decir que ae es igual a ai + 4*((b*a)/2).
Por manipulación algebraica:
ae = ai + 4*((b*a)/2)
ae = h2 + 4*((b*a)/2)
ae = h2 + 2*a*b
Introducimos el área original del cuadrado exterior al otro lado, teniendo:
(a+b)2 = h2 + 2*a*b
Se expande:
a2 + 2*a*b + b2 = h2 + 2*a*b
Cancelamos a los dos lados y tenemos:
a2 + b2 = h2. QED.
Bien, eso fue todo por esta vez. Espero que les haya gustado.
